Доверительный интервал для среднего: формула x̄ ± t·s/√n, коэффициент Стьюдента, расчёт по ряду измерений

Обновлено: 23 октября 2026 года · ИСКРИТ

Доверительный интервал для среднего показывает, где с вероятностью P лежит истинное среднее: x̄ ± t·s/√n, где x̄ среднее ряда, s выборочное стандартное отклонение, n число измерений, t коэффициент Стьюдента для P и n − 1 степеней свободы. Для пяти измерений 10,2; 10,5; 10,1; 10,4 и 10,3 при P = 0,95 среднее 10,30, s = 0,158, t = 2,776, и интервал 10,30 ± 0,20, от 10,10 до 10,50.

Калькулятор

Как считается

Среднее x̄ = Σxi/n, выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(xi − x̄)²/(n − 1)), стандартное отклонение среднего s/√n. Половина ширины интервала Δ = t·s/√n, где t берут из таблицы Стьюдента по доверительной вероятности и f = n − 1. При малом числе измерений t заметно больше 2: при n = 3 и P = 0,95 это 4,303, при n = 10 уже 2,262, при большом n t стремится к 1,96. Чем больше измерений, тем уже интервал: он сужается примерно как 1/√n.

Какую вероятность брать

В метрологии и лабораторных испытаниях берут P = 0,95: так требует, например, ГОСТ Р 8.736-2011 для границ погрешности результата многократных измерений. P = 0,99 берут, когда ошибка опасна, P = 0,90 в предварительных оценках. С ростом P интервал шире: для тех же пяти измерений при P = 0,99 t = 4,604 и Δ = 0,33.

Частые ошибки

Берут t = 1,96 для пяти измерений, как для большой выборки, и занижают интервал почти на треть. Делят на n вместо n − 1 в стандартном отклонении. Путают доверительный интервал среднего с разбросом отдельных измерений: отдельные значения выходят за интервал, и это нормально. Пишут результат с лишними знаками: Δ округляют до одной-двух значащих цифр, среднее до того же разряда.

Числовой пример

Ряд 10,2; 10,5; 10,1; 10,4; 10,3: x̄ = 10,30, отклонения −0,1; 0,2; −0,2; 0,1; 0, сумма квадратов 0,10, s = √(0,10/4) = 0,158. s/√n = 0,158/√5 = 0,0707. При P = 0,95 и f = 4 t = 2,776, Δ = 2,776 · 0,0707 = 0,196. Результат 10,30 ± 0,20 при P = 0,95.

Вопросы

Как рассчитать доверительный интервал? Найти среднее и стандартное отклонение ряда, взять коэффициент Стьюдента по P и n − 1 и отложить от среднего ± t·s/√n.

Что значит доверительный интервал 95%? Если повторять серию много раз, в 95% случаев построенный так интервал накроет истинное среднее.

Когда брать t Стьюдента, а когда 1,96? t Стьюдента при неизвестном разбросе и малом числе измерений, 1,96 только при известном σ или очень большом n.

Как сузить доверительный интервал? Увеличить число измерений или уменьшить разброс: интервал сужается как 1/√n.

Чем доверительный интервал отличается от погрешности? Это случайная часть погрешности среднего, к ней по ГОСТ Р 8.736 добавляют погрешность прибора.

Как записать результат? Среднее ± Δ с указанием P: 10,30 ± 0,20 при P = 0,95.

Соседние темы: таблица коэффициентов Стьюдента, стандартное отклонение и погрешность измерений.