Стандартное отклонение и коэффициент вариации: формулы, выборочное и генеральное, расчёт онлайн и в Excel

Обновлено: 23 октября 2026 года · ИСКРИТ

Стандартное, или среднее квадратическое, отклонение показывает разброс значений вокруг среднего: s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)). Делитель n − 1 даёт выборочное отклонение по нескольким измерениям, делитель n генеральное для всей совокупности. Коэффициент вариации V = s / x̄ · 100% переводит разброс в проценты от среднего и позволяет сравнивать ряды разного масштаба. Для ряда 8, 10, 12, 9, 11 среднее 10, s = 1,58, σ = 1,41, V = 15,8%.

Калькулятор

Как считается

Сначала среднее x̄ = Σxi / n. Затем отклонение каждого значения от среднего, его квадрат и сумма квадратов. Выборочная дисперсия s² = Σ(xi − x̄)² / (n − 1), стандартное отклонение s = √s². Генеральное σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) берут, когда в ряду вся совокупность, а не выборка из неё. СКО среднего s/√n показывает точность самого среднего и нужно для доверительного интервала. Коэффициент вариации V = s / x̄ · 100% имеет смысл для величин, у которых нуль естественный: длина, масса, прочность.

Выборочное или генеральное

В лабораторной практике всегда берут выборочное s: так считает СКО повторяемости ГОСТ Р ИСО 5725 и коэффициент вариации характеристик грунтов ГОСТ 20522-2012.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации безразмерный, поэтому им сравнивают однородность рядов с разными единицами и средними: разброс массы в граммах и прочности в мегапаскалях. В учебной статистике совокупность принято считать однородной при V до 33%. В нормах свои пределы: ГОСТ 20522-2012 сравнивает коэффициент вариации характеристик грунта с порогом для вида характеристики, а для бетона нормы задают требуемую прочность в зависимости от коэффициента вариации партии.

Частые ошибки

Берут генеральное σ по пяти измерениям и занижают разброс: при n = 5 оно меньше s примерно на 10%. Путают стандартное отклонение ряда и СКО среднего, которое в √n раз меньше. Считают коэффициент вариации для температуры в градусах Цельсия, где нуль условный и V теряет смысл. Округляют среднее до вычисления отклонений и накапливают ошибку.

Числовой пример

Ряд 8, 10, 12, 9, 11: среднее 50 / 5 = 10. Отклонения −2, 0, 2, −1, 1, квадраты 4, 0, 4, 1, 1, сумма 10. Выборочная дисперсия 10 / 4 = 2,5, s = √2,5 = 1,58. Генеральное σ = √(10 / 5) = 1,41. СКО среднего 1,58 / √5 = 0,71. Коэффициент вариации 1,58 / 10 · 100 = 15,8%.

Вопросы

Как рассчитать стандартное отклонение? Найти среднее, сложить квадраты отклонений от него, разделить на n − 1 и извлечь корень: s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)).

Чем выборочное отклонение отличается от генерального? Делителем: n − 1 у выборочного и n у генерального. По выборке n − 1 даёт несмещённую оценку дисперсии.

Как посчитать стандартное отклонение в Excel? Функцией =СТАНДОТКЛОН.В(A1:A10) для выборки и =СТАНДОТКЛОН.Г(A1:A10) для всей совокупности.

Как рассчитать коэффициент вариации? Разделить стандартное отклонение на среднее и умножить на 100%: 1,58 / 10 · 100 = 15,8%.

Какой коэффициент вариации считается нормальным? В учебной статистике совокупность однородна при V до 33%, в лабораторных нормах пределы свои для каждого вида испытаний.

Что такое СКО среднего? Стандартное отклонение, делённое на √n: точность среднего значения, из него строят доверительный интервал по Стьюденту.

Соседние темы: погрешность измерений, коэффициент Стьюдента и статобработка грунтов по ГОСТ 20522.