Обратная и прямая геодезическая задача: калькулятор, формулы и пример

Обновлено: 30 сентября 2026 года · ИСКРИТ

Обратная геодезическая задача даёт горизонтальное проложение и дирекционный угол по координатам двух точек. Проложение S = √(ΔX² + ΔY²). Угол находят через румб r = arctg(|ΔY| / |ΔX|) и переводят в дирекционный по четверти, которую задают знаки приращений. Прямая задача решается наоборот: по точке, углу и проложению находят координаты второй точки.

Обратная задача

Прямая задача

Как считается

Приращения. ΔX = XB - XA, ΔY = YB - YA. Ось X в геодезии смотрит на север, ось Y на восток, поэтому формулы отличаются от школьной декартовой системы.

Румб и четверть. Румб это острый угол между линией и ближайшим из направлений на север или юг. Знаки приращений задают четверть, а четверть переводит румб в дирекционный угол.

Контроль. Проложение считают дважды: S = ΔX / cos α и S = ΔY / sin α. Расхождение говорит об ошибке в угле или в знаке приращения. Обратный дирекционный угол отличается от прямого на 180°.

Прямая задача. ΔX = S · cos α, ΔY = S · sin α, XB = XA + ΔX, YB = YA + ΔY. Знаки косинуса и синуса сами расставляют приращения по четверти. Много точек цепочкой, веером и полярным способом считает калькулятор в статье про прямую геодезическую задачу.

Числовой пример

A (5320,44; 8174,12), B (5486,97; 8032,58). ΔX = +166,53 м, ΔY = -141,54 м, четверть СЗ. S = √(166,53² + 141,54²) = 218,554 м. Румб r = arctg(141,54 / 166,53) = 40° 21′ 45″, дирекционный угол α = 360° - r = 319° 38′ 15″. Прямая задача с этими углом и проложением возвращает точку B с точностью до миллиметра.

Вопросы

Чем дирекционный угол отличается от азимута? Дирекционный угол отсчитывают от северного направления осевого меридиана зоны, азимут от истинного меридиана точки. Их разница это сближение меридианов.

Почему угол вышел не в той четверти? Обычно перепутаны X и Y: в геодезии X идёт на север. Калькулятор ждёт координаты именно в таком порядке.

Какие координаты подходят? Плоские прямоугольные в одной системе: МСК, местная система площадки или условная. Широту и долготу сначала переводят в плоскую систему.

Отклонения выполненных конструкций от проекта по координатам съёмки считает инструмент Исполнительная схема.