Тригонометрическое нивелирование: превышение по углу наклона и расстоянию, поправка за кривизну Земли и рефракцию, допуски

Обновлено: 24 октября 2026 года · ИСКРИТ

Тригонометрическое нивелирование находит превышение по наклонному лучу: h = d · tg ν + i - v, где d горизонтальное проложение, ν угол наклона, i высота прибора, v высота визирной цели. По наклонной дальности S то же превышение равно S · sin ν + i - v. На линиях от 300 м добавляют поправку за кривизну Земли и рефракцию f = 0,42 · d² / R, на 412 м это 11 мм. Калькулятор ниже считает превышение и отметку точки по наклонной дальности, проложению или нитяному дальномеру и сравнивает прямое превышение с обратным.

Калькулятор

Что вводить

Расстояние. Тахеометр и светодальномер меряют наклонную дальность S, на экране она обозначена SD. Если в журнал записано горизонтальное проложение HD, выберите проложение. Нитяной дальномер теодолита даёт D = 100 · l, где l отсчёт по рейке между дальномерными нитями.

Угол. Угол наклона пишут градусами, минутами и секундами, при наклоне вниз минус ставят при градусах: «-1 12 30». Тахеометр обычно показывает зенитное расстояние Z, для него есть отдельный выбор. Угол наклона из отсчётов теодолита при одном круге получают через место нуля.

Высоты. Высоту прибора i меряют рулеткой от центра знака до оси вращения трубы, высоту цели v от точки до центра отражателя или до отсчёта по рейке, на который навели нить. По п. 9.8.7 ГКИНП-02-033-82 обе высоты меряют с точностью 1 см. Если навести на рейку на отсчёт, равный высоте прибора, то i - v = 0.

Обратное превышение. Если со второй точки навели обратно на станцию, впишите превышение с неё на станцию со своим знаком. Калькулятор сравнит его с прямым и выдаст среднее.

Формулы

Произведение d · tg ν называют неполным превышением h′: это превышение луча над горизонтом прибора. Высота прибора поднимает начало луча над знаком станции, высота цели поднимает конец луча над точкой, поэтому i прибавляют, а v вычитают.

Поправка за кривизну Земли и рефракцию

Уровенная поверхность изгибается вниз от горизонта прибора, и луч на далёкой точке проходит выше неё на d² / (2R). Рефракция изгибает луч к Земле и снимает часть этой величины. Вместе они дают f = (1 - k) · d² / (2R), при коэффициенте рефракции k около 0,16 это f ≈ 0,42 · d² / R. Поправку прибавляют к превышению, R = 6371 км.

До 300 м поправка не больше 6 мм. На таких линиях её часто не вводят, ошибка угла теодолита даёт в превышении больше. С 300 м поправку вводят, на километре она уже 66 мм. Тахеометр вводит её сам, если она включена в настройках: тогда сырые измерения и посчитанные прибором высоты расходятся на эти миллиметры.

Коэффициент рефракции меняется за день, особенно у земли и над нагретой поверхностью. Поэтому точное тригонометрическое нивелирование ведут в прямом и обратном направлениях: в среднем из двух превышений кривизна Земли и рефракция сокращаются. По п. 9.8.3 инструкции вертикальные углы меряют тремя приёмами при двух кругах и не в пределах 2 ч от восхода и захода солнца.

Точность

Ошибка угла переходит в превышение пропорционально расстоянию: на 100 м ошибка 30″ даёт 15 мм, на 500 м уже 73 мм. По ГОСТ 10529-96, таблица 1, теодолит Т30 меряет вертикальный угол одним приёмом со средней квадратической погрешностью 45″, Т5 8″, Т2 2,5″. Поэтому 30-секундным теодолитом на длинных линиях дают отметки съёмочных точек, а для разбивки и исполнительной съёмки берут нивелир или точный тахеометр на коротких линиях.

Ошибка расстояния входит в превышение через tg ν. На пологой линии она почти не влияет: при наклоне 2° ошибка расстояния 10 см даёт 3,5 мм. На крутой линии вклад растёт, при 15° та же ошибка даёт 27 мм.

Допуски

Инструкция по топографической съёмке ГКИНП-02-033-82 разрешает заменять геометрическое нивелирование тригонометрическим при съёмке с сечением рельефа 2 и 5 м, а во всхолмлённых районах и при сечении 1 м (п. 9.8.1). Исходные пункты для такого хода стоят не реже чем через 5 сторон (п. 9.8.2).

Здесь Sср средняя длина стороны, n число сторон хода, S длина хода. Обе формулы невязки дают одно и то же: 0,04 · (S / n) · √n = 0,04 · S / √n. Ход из 4 линий длиной 1240 м допускает невязку 0,04 · 1240 / √4 = 24,8 см. Инструкция формально не действует с 2018 года, но свод правил СП 317.1325800.2017 ссылается на неё, и её допуски по-прежнему применяют в съёмочном обосновании.

Тригонометрическое или геометрическое нивелирование

Нивелир даёт превышение горизонтальным лучом при равных плечах, и на станции ошибка составляет доли миллиметра. Тригонометрическое нивелирование передаёт высоту сразу на сотни метров и через овраги, склоны и водные преграды, куда с рейкой не дойти. Зато его точность ограничивают угол и рефракция, и на стройке отметки фундаментов и перекрытий берут нивелиром. Журнал нивелира разобран в статье про геометрическое нивелирование.

Частые ошибки

Зенитное расстояние вместо угла наклона. Отсчёт 87° 44′ ввели как угол наклона, и превышение вышло в сотни метров. Калькулятор угол наклона круче 75° не примет и подскажет выбрать зенитное расстояние.

Проложение приняли за наклонную дальность. В журнал записали HD, а считали как SD. Неполное превышение выходит HD · sin ν вместо HD · tg ν, то есть в cos ν раз меньше: при наклоне 5° на линии 100 м это 33 мм.

Знак обратного превышения. С точки на станцию превышение имеет обратный знак. Если вписать его с тем же знаком, калькулятор об этом скажет.

Высота цели не та. Отражатель подняли, а в журнале осталась старая высота. Вся разница уходит в отметку точки.

Поправка за кривизну на длинной линии пропущена. На 1 км превышение выходит на 66 мм меньше, и ход тригонометрического нивелирования получает невязку одного знака.

Место нуля не учтено. Угол при одном круге взяли прямо с круга, а МО теодолита -1′. На 400 м это даёт 116 мм в превышении.

Числовой пример

Тахеометр стоит на точке с отметкой 154,217, высота прибора 1,480 м. На отражатель высотой 2,000 м наклонная дальность S = 412,360 м, угол наклона ν = +2° 15′ 40″, это зенитное расстояние 87° 44′ 20″.

Превышение. Неполное превышение h′ = 412,360 · sin 2° 15′ 40″ = +16,269 м. Проложение d = 412,360 · cos 2° 15′ 40″ = 412,039 м. Поправка f = 0,42 · 412,039² / 6 371 000 = 0,0112 м. Превышение h = 16,269 + 1,480 - 2,000 + 0,011 = +15,760 м, отметка точки 154,217 + 15,760 = 169,977.

Обратно. С точки навели на станцию и получили превышение -15,742 м. Расхождение 15,760 - 15,742 = 18 мм, допуск 4 см на 100 м даёт для 412 м 165 мм. Среднее превышение (15,760 + 15,742) / 2 = +15,751 м, отметка точки 169,968.

Точность. Ошибка угла 5″ на этой линии даёт 10 мм в превышении, ошибка 30″ даёт 60 мм. Без поправки за кривизну и рефракцию превышение вышло бы +15,749 м, на 11 мм меньше.

Вопросы

Что такое тригонометрическое нивелирование? Это определение превышения по углу наклона и расстоянию, измеренным теодолитом или тахеометром. Луч идёт наклонно, и превышение получают из прямоугольного треугольника с поправками на высоты прибора и цели.

По какой формуле считают превышение? h = d · tg ν + i - v по горизонтальному проложению или h = S · sin ν + i - v по наклонной дальности. На линиях от 300 м добавляют поправку f = 0,42 · d² / R.

Когда вводить поправку за кривизну Земли и рефракцию? На линиях от 300 м, там она больше 6 мм. На 100 м она меньше миллиметра, на 1 км около 66 мм.

Зачем мерить превышение прямо и обратно? Обратное превышение контролирует прямое, а в среднем из двух сокращаются кривизна Земли и рефракция. По инструкции они расходятся не больше чем на 4 см на каждые 100 м.

Какая точность у тригонометрического нивелирования? Она зависит от точности угла и длины линии. Теодолит 30-секундной точности на 100 м даёт около 1,5 см, тахеометр с углом 5″ на 400 м около 1 см.

Чем тригонометрическое нивелирование отличается от геометрического? Геометрическое меряет превышение горизонтальным лучом нивелира по рейкам и точнее на коротких станциях. Тригонометрическое считает его по наклонному лучу и передаёт высоту на большие расстояния и через препятствия.

Проложение по наклонной дальности отдельно считает калькулятор горизонтального проложения, журнал станции с десятками пикетов обрабатывает тахеометрическая съёмка. Место нуля для углов при одном круге находит поверка теодолита. Сеть с превышениями по тахеометру уравнивает инструмент Уравнивание измерений.