Прямая угловая засечка: координаты точки по двум углам, формулы Юнга, угол засечки и контроль с третьего пункта

Обновлено: 24 октября 2026 года · ИСКРИТ

Прямая угловая засечка находит координаты точки P по углам, измеренным на двух пунктах с известными координатами. На пункте A меряют угол α между направлениями на B и на P, на пункте B угол β между направлениями на A и на P. Координаты дают формулы Юнга: X_P = (X_A · ctg β + X_B · ctg α + Y_B - Y_A) / (ctg α + ctg β). Угол засечки при точке γ = 180° - α - β должен быть от 30° до 150°. Калькулятор ниже решает засечку, оценивает точность и сверяет её со вторым решением с третьего пункта.

Калькулятор

Что вводить

Пункты. X и Y пунктов A и B в метрах из каталога или с исполнительной схемы. В геодезии X идёт на север, Y на восток.

Углы. α это угол при A между направлениями на B и на P, β угол при B между направлениями на A и на P. Оба угла внутренние углы треугольника ABP, каждый меньше 180°. Угол получают как разность отсчётов горизонтального круга, среднее из полуприёмов при КЛ и КП. Пишут градусами, минутами и секундами через пробел: «58 19 26».

Где точка. Формулы различаются по тому, с какой стороны от линии AB лежит точка. Встаньте на линию AB лицом к точке P. Если пункт A у вас слева, а B справа, выберите первый вариант: для него формулы Юнга записаны в учебниках. Иначе выберите второй.

Третий пункт. Строкой пишут X и Y пункта C и угол при C между направлениями на B и на P. Калькулятор решит второй треугольник B, C, P и сравнит два решения. Если с третьего пункта не наводили, строку оставьте пустой.

Точность и масштаб. Точность угла берут по паспорту прибора: у теодолитов Т30 и 2Т30 это 30″, у Т5 5″. Масштаб съёмки задаёт допуск расхождения двух решений.

Формулы

Здесь b длина базиса AB из обратной геодезической задачи, m_β СКО угла в секундах, ρ = 206265″. Формулы Юнга не требуют решать треугольник: в них только котангенсы углов и координаты пунктов. Контроль вычислений дают стороны и дирекционные углы: прямая задача от A по α_AP и AP и от B по α_BP и BP приводит в одну точку. Когда пункты A и B друг с друга не видны, засечку решают по дирекционным углам направлений на точку, это формулы Гаусса.

Угол засечки и точность

Ошибка угла поворачивает луч, и точка сдвигается поперёк него. При остром угле засечки два луча идут почти рядом, и маленький поворот одного уводит точку пересечения далеко вдоль них. Поэтому по п. 10.9.4 ГКИНП-02-033-82 углы между направлениями при определяемой точке не меньше 30° и не больше 150°, а саму точку определяют не меньше чем с трёх пунктов опорной сети. При съёмке ситуации угловыми засечками по п. 16.12 той же инструкции угол при определяемой точке тоже от 30 до 150°, а примычные углы меряют одним полуприёмом с точностью 1′.

В таблице базис 300 м, точка стоит на перпендикуляре к середине базиса.

При неизменном базисе ошибка наименьшая при угле засечки около 109°. При угле 20° она в 12 раз больше, чем при 90°. Далёкая точка с острым углом засечки определяется хуже всего: лучи длинные и пересекаются почти вдоль друг друга.

Контроль с третьего пункта

Два угла дают точку без запаса. Ошибка в отсчёте или в координатах пункта сдвинет её, и по самим углам этого не видно. Поэтому третье направление берут с пункта C, угол при C меряют между направлениями на B и на P. Второй треугольник B, C, P решают теми же формулами. Угол при B в нём равен углу между направлениями на C и на P: его дают координаты пунктов и направление B-P из первого решения.

Два решения сравнивают по расхождению r = √(ΔX² + ΔY²). Отдельного допуска на него инструкция не даёт. Положение пунктов съёмочной сети по п. 10.3 ГКИНП-02-033-82 ограничено 0,2 мм в масштабе плана на открытой местности и застроенной территории и 0,3 мм на местности, закрытой лесом и кустарником. Калькулятор сравнивает расхождение с 0,2 мм: при масштабе 1:500 это 0,10 м, при 1:1000 0,20 м, при 1:2000 0,40 м. Если расхождение в допуске, за окончательные координаты берут среднее из двух решений.

Ошибка любого из трёх углов разводит решения: три луча перестают сходиться в одной точке. Если выбрать неверно, где лежит точка P, первое решение отражается через линию AB. Калькулятор это замечает и подсказывает.

Частые ошибки

Перепутана сторона. Формулы для точки слева от AB и справа отличаются знаками. С неверным выбором точка выходит зеркально по другую сторону базиса, на тех же расстояниях от пунктов. Без третьего пункта такую ошибку не видно.

Внешний угол вместо внутреннего. Разность отсчётов дала 301° 40′ 34″ вместо 58° 19′ 26″. В треугольник идёт угол меньше 180°, здесь 360° - 301° 40′ 34″ = 58° 19′ 26″.

Минуты записаны как доли градуса. 58° 19′ это 58,3167°, а не 58,19°. Разница 7′ 36″ на 344 м поворачивает луч так, что точка уходит на 0,76 м.

Перепутаны X и Y. С перепутанными осями треугольник отражается, и точка выходит не на той стороне базиса.

Острый угол засечки. Точку засекли с пунктов, которые видны с неё почти в одном направлении. При угле засечки 20° та же ошибка угла даёт ошибку точки в 12 раз больше, чем при 90°.

Засечка без контроля. Ошибка в одном угле сдвигает точку, а решение выглядит так же, как верное. Третий пункт ловит её сразу.

Числовой пример

Пункты A (6215,40; 4380,25) и B (6052,18; 4712,90). Обратная задача даёт базис b = 370,536 м и дирекционный угол A-B 116° 08′ 08″. Стоя на линии AB лицом к точке, пункт A видно слева. На A измерен угол α = 58° 19′ 26″, на B угол β = 57° 01′ 25″.

Точка. Угол засечки γ = 180° - 58° 19′ 26″ - 57° 01′ 25″ = 64° 39′ 09″, в пределах от 30 до 150°. ctg α = 0,617037, ctg β = 0,648822. X_P = (6215,40 · 0,648822 + 6052,18 · 0,617037 + 4712,90 - 4380,25) / (0,617037 + 0,648822) = 6398,625. Y_P = (4380,25 · 0,648822 + 4712,90 · 0,617037 - 6052,18 + 6215,40) / 1,265859 = 4671,339.

Проверка. Стороны AP = 370,536 · sin 57° 01′ 25″ / sin 64° 39′ 09″ = 343,954 м и BP = 348,929 м. Дирекционный угол A-P = 116° 08′ 08″ - 58° 19′ 26″ = 57° 48′ 42″, B-P = 296° 08′ 08″ + 57° 01′ 25″ = 353° 09′ 33″. Прямая задача по ним от обоих пунктов приводит в ту же точку. При точности угла 30″ СКО положения точки 79 мм.

Контроль. С пункта C (6120,55; 5034,80) измерен угол 49° 24′ 45″ между направлениями на B и на P. Угол при B между направлениями на C и на P 84° 50′ 59″, второе решение X 6398,654, Y 4671,335, угол засечки 45° 44′ 16″. Расхождение 0,029 м, на плане 1:500 это 0,06 мм при допуске 0,2 мм. Окончательно точка X 6398,640, Y 4671,337.

Если вписать угол при C на 2′ больше, 49° 26′ 45″, расхождение выходит 0,401 м, это 0,80 мм на плане 1:500. Калькулятор сообщает, что в одном из углов или в координатах пунктов ошибка.

Вопросы

Что такое прямая угловая засечка? Это определение координат точки по углам, измеренным на двух пунктах с известными координатами. Прибор ставят на пункты и наводят на точку, на саму точку прибор не ставят.

Чем прямая засечка отличается от обратной? В прямой засечке прибор стоит на известных пунктах и наводят на определяемую точку. В обратной прибор стоит на определяемой точке и наводят на известные пункты.

По каким формулам решают прямую засечку? По формулам Юнга через котангенсы углов при пунктах или по формулам Гаусса через дирекционные углы направлений. Можно решить и треугольник: стороны по теореме синусов, затем прямая геодезическая задача.

Каким должен быть угол засечки? По п. 10.9.4 ГКИНП-02-033-82 угол между направлениями при определяемой точке от 30° до 150°. Точнее всего точка выходит при угле засечки около 90-110°.

Сколько пунктов нужно для прямой засечки? Для решения хватает двух. Для контроля инструкция требует не меньше трёх пунктов: два решения сравнивают и берут среднее.

Как понять, слева или справа лежит точка? Встаньте на линию между пунктами лицом к точке. Если пункт A слева, а B справа, работают формулы Юнга в обычной записи, иначе знаки при разностях координат меняются.

Базис и дирекционный угол между пунктами считает обратная геодезическая задача, координаты станции по направлениям на пункты находит обратная засечка. Засечку с лишними направлениями и сеть из нескольких пунктов уравнивает инструмент Уравнивание измерений.