Прямая геодезическая задача: формулы, знаки приращений, полярный способ и калькулятор координат по углу и длине

Обновлено: 19 октября 2026 года · ИСКРИТ

Прямая геодезическая задача даёт координаты второй точки по координатам первой, дирекционному углу линии и горизонтальному проложению: XB = XA + S · cos α, YB = YA + S · sin α. Калькулятор ниже считает сразу много точек: цепочкой, как в ходе, веером от одной станции или полярным способом от исходного направления.

Калькулятор координат по углу и длине

Каждую линию пишут строкой: имя точки, угол и горизонтальное проложение в метрах. Угол пишут градусами, минутами и секундами через пробел, со знаками 319°38′15″ или десятичными градусами 319.6375. Имя можно не писать, тогда точки получат номера.

Цепочкой. Каждая линия начинается в точке, найденной строкой выше, как в теодолитном ходе. Если цепочка вернулась в начальную точку, калькулятор показывает расхождение и его долю от длины цепочки.

Веером. Все линии идут от начальной точки. Так считают точки, снятые с одной станции, если дирекционные углы на них уже известны.

Полярным способом. В строке стоит горизонтальный угол β от исходного направления, а дирекционный угол калькулятор находит сам: α = α0 + β.

Формулы и знаки приращений

Приращения. ΔX = S · cos α, ΔY = S · sin α. Координаты второй точки XB = XA + ΔX, YB = YA + ΔY. Ось X в геодезии смотрит на север, ось Y на восток, а дирекционный угол отсчитывают от севера по ходу часовой стрелки.

Знаки. Косинус и синус сами дают знак приращения по четверти, в которую смотрит линия.

Через румб. Если направление задано румбом, например СЗ: 40° 21′ 45″, приращения считают по модулю: |ΔX| = S · cos r, |ΔY| = S · sin r. Знаки берут из названия четверти: север даёт плюс к X, юг минус, восток плюс к Y, запад минус.

Контроль. Найденную точку проверяют обратной задачей: угол и проложение от первой точки до второй должны вернуться те же. Цепочку, которая пришла в известную точку, проверяют по расхождению с ней.

Где применяют прямую задачу

Съёмка. Тахеометр меряет на каждую точку горизонтальный угол и расстояние, а координаты точки это прямая задача от станции.

Ход. В теодолитном ходе координаты каждой точки получают от предыдущей по исправленному дирекционному углу и проложению.

Точка в стороне от оси. Для точки в 1,5 м от оси под прямым углом берут дирекционный угол оси плюс 90°, если точка справа по ходу оси, или минус 90°, если слева, и проложение 1,5 м.

Точка на продолжении линии. Берут дирекционный угол той же линии и откладывают проложение от её конечной точки.

Точка на кривой трассы. Точку круговой кривой, заданную от тангенса координатами x и y, переводят в плановые двумя прямыми задачами: x по дирекционному углу тангенса от начала кривой, затем y под прямым углом к тангенсу в сторону поворота.

Полярный способ

Тахеометр на станции A ориентируют на пункт B, дирекционный угол α0 направления A-B известен из каталога или из обратной задачи. Горизонтальный угол β на точку P отсчитывают от направления на B по ходу часовой стрелки. Дирекционный угол на P равен α = α0 + β, а если сумма больше 360°, из неё вычитают 360°.

Если угол на точку отсчитывают против часовой стрелки, его вычитают: α = α0 - β. Перед расчётом проверяют, в какую сторону растут отсчёты по кругу прибора.

Точность

Ошибка угла. Она сдвигает точку поперёк линии на q = S · mα / ρ, где ρ = 206265″. Ошибка 10″ на 200 м даёт 9,7 мм, ошибка 1″ около 1 мм.

Ошибка длины. Она сдвигает точку вдоль линии целиком. Полная ошибка положения точки m = √(mS² + q²).

Например, прибор с ошибкой угла 5″ и дальномера 2 мм + 2 мм на километр на 200 м даёт q = 200 · 5 / 206265 = 4,8 мм и mS = 2,4 мм. Ошибка положения точки m = √(2,4² + 4,8²) = 5,4 мм.

Частые ошибки

Перепутаны X и Y. В геодезии X это север, а не горизонтальная ось школьного графика. С перепутанными осями точка уходит в зеркальную четверть.

Минуты записаны как доли градуса. Угол 319° 38′ это 319,6333°, а не 319,38°. Разница 15′ 12″ на 218 м сдвигает точку на 0,96 м.

Калькулятор считает в радианах или в гонах. Полный круг в гонах 400, а не 360. Перед расчётом проверяют, в каких единицах калькулятор берёт угол.

Угол взят в обратную сторону. Дирекционный угол линии B-A отличается от угла A-B на 180°. С обратным углом точка уходит в другую сторону от начальной.

Наклонная длина вместо проложения. На уклоне 3° разница на 200 м составляет 274 мм. В формулы ставят горизонтальное проложение d = D · cos ν, где D это наклонная длина, а ν угол наклона.

Числовой пример

Замкнутая цепочка. Из точки A (5320,44; 8174,12) идут четыре линии: на B 319° 38′ 15″ и 218,554 м, на C 52° 24′ 46″ и 205,470 м, на D 153° 04′ 13″ и 236,831 м, обратно на A 237° 52′ 40″ и 151,790 м.

Для первой линии ΔX = 218,554 · cos 319° 38′ 15″ = +166,530 м, ΔY = 218,554 · sin 319° 38′ 15″ = -141,540 м, точка B (5486,970; 8032,580). Это та же точка B, что в примере обратной геодезической задачи. Дальше выходят C (5612,300; 8195,399) и D (5401,150; 8302,660).

Последняя линия приходит в точку (5320,440; 8174,106), на 14 мм западнее начала. Длина цепочки 812,645 м, расхождение составляет 1:59000 от неё. В ходе такое расхождение распределяют по линиям уравниванием.

Полярный способ. Станция A, исходное направление на B с α0 = 319° 38′ 15″. На точку P горизонтальный угол β = 45° 00′ 00″, проложение 120,000 м. Дирекционный угол α = 319° 38′ 15″ + 45° - 360° = 4° 38′ 15″. ΔX = 120 · cos 4° 38′ 15″ = +119,607 м, ΔY = 120 · sin 4° 38′ 15″ = +9,702 м, точка P (5440,047; 8183,822).

Вопросы

Что такое прямая геодезическая задача простыми словами? Это расчёт координат второй точки, когда известны координаты первой, направление на вторую и расстояние до неё по горизонтали.

Чем прямая задача отличается от обратной? Прямая переводит угол и длину в координаты. Обратная делает наоборот: по координатам двух точек находит дирекционный угол и проложение между ними.

Почему приращение вышло с минусом? Знак задаёт четверть. Линия на юг даёт минус по X, линия на запад минус по Y, и это нормально.

Какой угол ставить в формулу: дирекционный, азимут или магнитный? Дирекционный, в той же системе, что и координаты. Истинный азимут сначала переводят в дирекционный угол через сближение меридианов, а магнитный ещё и через склонение.

Можно ли брать наклонное расстояние? Нет. В формулу идёт горизонтальное проложение, наклонную длину сначала приводят к горизонту.

С какой точностью вести расчёт? Координаты до миллиметра, углы до секунды. Секунда угла на 200 м сдвигает точку на 1 мм, а минута на 58 мм, поэтому угол до минуты не округляют.

Координаты точек съёмки с проектом сравнивает и рисует схему с отклонениями инструмент Исполнительная схема.